เราสามารถรู้อะไรได้บ้าง?

โอเค กลับไปที่ Continuum Hypothesis ฝ่ายตรงข้ามของคันทอร์กล่าวว่าความล้มเหลวในการพิสูจน์สมมติฐานเผยให้เห็นว่าการขาดรากฐานที่มีเหตุผลสำหรับงานทั้งหมดของเขาเกี่ยวกับอนันต์และทฤษฎีเซต แต่ Gödel แสดงให้เห็นว่ารากฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมดยังไม่สมบูรณ์เช่นเดียวกัน เขากล่าวว่าทฤษฎีของคันทอร์นั้นแท้จริงแล้วมีความแข็งแกร่งและมีความหมายพอๆ กับสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่สอดคล้องกัน และผู้ที่ยังคงเชื่อว่าการพิสูจน์สมมติฐานต่อเนื่องเป็นสิ่งจำเป็นนั้นกลับปฏิเสธข้อเท็จจริง ที่

จะปฏิเสธทฤษฎีเซตเพราะเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าสัจพจน์ข้อหนึ่ง

นั้นไม่มีเหตุผล เพราะคำอธิบายของเราเกี่ยวกับความเป็นเหตุเป็นผลและธรรมชาติมักจะขาดหายไปเสมอ มีเพียงบางคนที่ (เช่น นักหยั่งรู้) ปฏิเสธว่าแนวคิดและสัจพจน์ของทฤษฎีเซตแบบคลาสสิกมีความหมายใด ๆ เท่านั้นที่สามารถพอใจกับวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว ไม่ใช่คนที่เชื่อว่าแนวคิดและสัจพจน์ของเซตคลาสสิกมีความหมายบางอย่าง เพราะในความเป็นจริง การคาดเดาของคันทอร์ต้องเป็นจริงหรือเท็จ และไม่สามารถตัดสินใจได้จากสัจพจน์ที่รู้จักกันในปัจจุบันเท่านั้น หมายความว่าสัจพจน์เหล่านี้ไม่มีคำอธิบายที่สมบูรณ์ของความเป็นจริง [ปกเกล้า]

บทพิสูจน์ของโกเดลส่งคลื่นกระแทกไปทั่วโลก Bertrand Russell นักปรัชญาผู้ไม่เชื่อในพระเจ้าเพิ่งเสร็จสิ้นPrincipia Mathematicaซึ่งเป็นความพยายามอันทะเยอทะยานที่จะแทนที่ความเชื่อทางศาสนาและความเชื่อทางปรัชญาทั้งหมดด้วยตรรกะทางคณิตศาสตร์ รัสเซลใช้เวลาหลายร้อยหน้าในการวางรากฐานสำหรับการพิสูจน์ว่า 1+1=2 เพราะเขาต้องการให้มนุษย์มีเหตุผลและเป็นผู้เขียนความจริงเชิงสัจพจน์

เกอเดลเฝ้าดูความพยายามสุดหินนี้ ค้นพบว่าเหตุใดจึงไร้ประโยชน์ และในประมาณ 20 หน้า (ซับซ้อนมาก) พิสูจน์ให้เห็นว่าไม่ว่าคำกล่าว 1+1=2 จะเป็นจริงหรือไม่ (และแน่นอนว่าเป็นเช่นนั้น) เราไม่ใช่คนเหล่านั้น ที่ตัดสินว่ามันเป็นเรื่องจริง ไม่ว่าเราจะปรารถนาให้มันแย่สักแค่ไหน ไม่ว่าเราจะพยายามมากแค่ไหนก็ตาม (ชื่อเอกสารของเขาคือ “ในข้อเสนอที่ตัดสินใจไม่ได้อย่างเป็นทางการของPrincipia Mathematicaและระบบที่เกี่ยวข้อง”) เราสามารถรู้เรื่องดังกล่าวได้ด้วยศรัทธาที่มีเหตุผล แต่เราไม่สามารถเป็นผู้เขียนสิ่งเหล่านี้ได้ สำหรับเรื่องนั้น เราไม่สามารถเป็นผู้เขียนความจริงดังกล่าวได้ เฉพาะผู้เชื่อ ครู และนักเทศน์เท่านั้น คณิตศาสตร์ของเราสามารถเชื่อถือได้มากพอที่จะขับเคลื่อนเศรษฐกิจโลก

หรือส่งมนุษย์ไปดวงจันทร์ แต่เรายังไม่ได้ควบคุมมันมากไป

กว่าการควบคุมกระแสน้ำ ดังที่ Daniel Andrés Díaz-Pachón ผู้ช่วยศาสตราจารย์ด้านการวิจัยจากแผนกชีวสถิติของมหาวิทยาลัยไมอามี กล่าวไว้ว่า

ในท้ายที่สุด การฝึกความรู้ที่เป็นทางการที่สุดคือการกระทำด้วยศรัทธา นักคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้เชื่อโดยขาดการสนับสนุนทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด ว่าสิ่งที่เขากำลังทำนั้นมีความหมายใดๆ ก็ตาม นักตรรกวิทยาถูกบังคับให้เชื่อโดยไม่มีการสนับสนุนเชิงตรรกะทั้งหมด ว่าสิ่งที่เขากำลังทำนั้นมีความหมายใดๆ ก็ตาม … ศรัทธาเป็นพื้นฐานที่สุดของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ [viii]

เช่นเดียวกับที่นักคณิตศาสตร์หรือนักวิทยาศาสตร์ทุกคนต้องมีความเชื่อว่าอนันต์คือความจริงที่เป็นปรนัย Gödel แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็เช่นเดียวกัน นั่นคือมันเป็นปรนัย ไม่ใช่อัตวิสัย และอีกครั้ง รากฐานนั้นก็เป็นสาระสำคัญอย่างปฏิเสธไม่ได้เช่นกัน

Gödel อธิบายความเชื่อของเขาเองว่า “รับบัพติสมานิกายลูเธอรัน (แต่ไม่ได้เป็นสมาชิกของศาสนิกใดๆ)” [ix] แม้ว่าเขาจะไม่ค่อยเข้าร่วมการนมัสการในที่สาธารณะ แต่ Adele ภรรยาของเขากล่าวว่า “Gödel แม้ว่าเขาจะไม่ได้ไปโบสถ์ แต่ก็นับถือศาสนาและอ่านพระคัมภีร์บนเตียงทุกเช้าวันอาทิตย์” [x]เขาสนใจข้อโต้แย้งเชิงขอโทษเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพระเจ้า แต่ไม่เคยเผยแพร่เลย บางทีเขาอาจรู้ว่ามันเป็นจุดที่สงสัย

ถึงกระนั้น สมมติฐานความต่อเนื่องของคันทอร์เป็นอย่างไร ในปี 1938 Gödel ได้พิสูจน์ว่าไม่สามารถหักล้าง ได้ ด้วยวิธีการมาตรฐาน จากนั้นในปี พ.ศ. 2505 พอล โคเฮน นักคณิตศาสตร์อีกคนหนึ่งก็พิสูจน์ได้ว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน! Gödel บอกกับ Cohen ว่าบทพิสูจน์ของเขา “น่าอ่านจริงๆ … การอ่านข้อพิสูจน์ของคุณก็ส่งผลดีต่อฉันเช่นเดียวกันกับการได้เห็นบทละครที่ดีจริงๆ” [xi]

ทิ้งเราไว้ที่ไหน? ประเด็นสำคัญคือทุกคนเห็นพ้องต้องกันว่าเรากำลังสำรวจความจริงที่เป็นกลาง และธรรมชาติที่ไม่มีแก่นสารของความจริงนั้นเผชิญหน้ากับการก่อตั้งทางวิทยาศาสตร์ด้วยความลี้ลับหายนะ ซึ่งไอน์สไตน์เรียกว่า “ความลึกลับนิรันดร์ของจักรวาล” ที่พวกเขาต้องฝังไว้ภายใต้หมอกแห่งปรัชญา ดังที่ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยบราวน์ Philip J. Davis และศาสตราจารย์คณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยนิวเม็กซิโก Reuben Hersh อธิบายในปี 1981 ชาวดาร์วินไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากพยายามที่จะมีทั้งสองทาง:

นักเขียนส่วนใหญ่ในเรื่องนี้ดูเหมือนจะเห็นพ้องต้องกันว่านักคณิตศาสตร์ที่ทำงานทั่วไปคือ Platonist ในวันธรรมดา และเป็นนักพิธีการในวันอาทิตย์ นั่นคือ เมื่อเขากำลังทำคณิตศาสตร์ เขามั่นใจว่าเขากำลังเผชิญกับความจริงที่เป็นปรนัยซึ่งเขากำลังพยายามกำหนดคุณสมบัติ แต่แล้ว เมื่อถูกท้าทายให้เล่าเรื่องราวทางปรัชญาเกี่ยวกับความเป็นจริงนี้ เขาพบว่ามันง่ายที่สุดที่จะแสร้งทำเป็นว่าเขาไม่เชื่อในท้ายที่สุด [xii]

ทำไมต้องเสแสร้ง? ทำไมต้องยืนหยัดอยู่ในโลกแห่งการหลอกลวง? โปรดจำไว้ว่าลัทธิดาร์วินขึ้นอยู่กับข้อสันนิษฐานของลัทธิวัตถุนิยม ไม่สามารถมีปรากฏการณ์ที่ไม่มีตัวตน/ไม่ใช่กายภาพใดๆ ในจักรวาลได้ เพราะนั่นจะเป็นการเปิดประตูสู่จิตวิญญาณซึ่งเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ นอกจากนี้ เหตุผลของคณิตศาสตร์ขอร้องผู้เขียน นั่นเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้เช่นกัน ตอนนี้เราไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของนักคณิตศาสตร์ขั้นเทพได้ มากไปกว่าที่เราจะพิสูจน์ความจริงแท้ของข้อความ “1+1=2” ความพยายามใด ๆ ที่จะทำเช่นนั้นจะไม่มีเหตุผล อย่างไรก็ตาม เราสามารถรู้ได้ด้วยศรัทธาว่าทั้งสองเรื่องเป็นความจริง ตามที่Díaz-Pachónกล่าวไว้:

เพื่อให้ความเชื่อและเหตุผลมีรากฐาน ไม่เพียงแต่จากมุมมองทางญาณวิทยาเท่านั้น แต่ยังมาจากทัศนคติทางภววิทยาด้วย ต้องมีบางสิ่งที่ค้ำจุนมันไว้ นั่นคือผู้ค้ำจุนคนแรกที่สนับสนุนพวกเขาทั้งหมด ไม่มีตรรกะหากไม่มีโลโก้ งานเดียวของ Faith คือยอมรับว่าโลโก้ดังกล่าวมีอยู่จริง ตรงกันข้ามคือสิ้นหวังไร้ความหมาย [xiii]

credit: sellwatchshop.com
kaginsamericana.com
NeworleansCocktailBlog.com
coachfactoryoutletswebsite.com
lmc2web.com
thegillssell.com
jumpsuitsandteleporters.com
WagnerBlog.com
moshiachblog.com